jak rozumiem

Jak rozumiem (tylko żebym znów czegoś nie pokręcił), można twierdzenie sprowadzić do tego, że jeśli mamy liczby 101, 1001, 10001, etc., 1(n zer w środku)1, to zajmując się tylko nimi, dojdziemy co jakiś czas do liczby mającej 2, 3, 4, etc., generatory. Co się zgadza  Poliamid dla 101 (2 generatory) i 10000000000001 (3 generatory).
Jednocześnie te właśnie dwie liczby są najmniejszymi spośród posiadających daną liczbę (2 lub 3) generatorów.

Niech a_1,…a_n będą generatorami tej samej liczby, n >= 1.
Badamy zbiór liczb postaci 10^k + a_i, gdzie 10^k > a_i.
Ten zbiór też jest generatorem jakiejś liczby. Udowodnimy, że dla pewnego k istnieje jeszcze inny generator.
Niech ma on postać 10^k – b, b > 0. Czyli na początku ten dodatkowy generator będzie miał masę dziewiątek.
Rozpatrzmy na próbę liczbę x = 10^k-1 złożoną z samych dziewiątek.
x generuje liczbę x + k*9. Liczba Poliamid generowana przez 10^k + a_1 to
10^k + a_i + 1 + d(a_i)). Oznaczmy przez N najmniejsze ka takie, że
x + k*9 = 10^k -1 + k*9 >= 10^k +a_i + 1 + sumdigits(a_i), czyli
k*9 >= a_i + 2 + sumdigits(a_i). Taka liczba istnieje, bo prawa strona ma wartość ustaloną. Jeżeli mamy równość, znaleźliśmy kolejny generator. Jeżeli nie, bierzemy k = N+1. Wtedy nasze
x generuje liczbę za dużą o wartość z przedziału 10..18.
W liczbie x możemy zmniejszyć ostatnią cyfrę o wartość od 1 do 9, co spowoduje redukcję generowanej liczby o wartość 2,4,…, 18.
Możemy też zredukować przedostanią cyfrę x z 9 na 8, co redukuje generowaną liczbę o 11. Jeżeli dołączymy redukcję ostatniej cyfry, możemy zredukować generowaną liczbę o dowolną liczbę z przedziału 10…18. To kończy dowód: znaleźliśmy kolejny generator i nawet możemy stwierdzić, że jest on postaci 10^k – b gdzie 1 <= b 11) i cyfrę jedności o 2 (=4/2). Drugim generatorem liczby 100029 jest więc 99987.
Ale liczba, którą  nazywa a(4), najwyraźniej nie jest tej postaci, bo jak piszesz, suma cyfr największego generatora jest 2, w przypadku zaś liczb  suma cyfr największego generatora jest 1, bo jest to po prostu 1
Stąd wynika, że spośród liczb z czterema generatorami, najmniejsza nie jest liczba miodzia, tylko jakaś inna, w sensie postaci, liczba cpp. Inaczej niż dla liczb dwu- i trzygeneratorowych.
Zastanawiam się, czy (chociaż…) generatory liczb  spełniają zauważoną przeze mnie prawidłowość, że liczba cyfr sumy ich cyfr jest różna dla każdego generatora (co nie zachodzi jak wiemy dla liczby .